Analisis real
Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan
seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai posisi x0 tempat sang
kura-kura mulai berlari, sang kura-kura telah menempuh x1 meter;
dan ketika Achilles mencapai posisi tersebut beberapa saat
kemudian, sang kura-kura telah menempuh x2 meter lebih jauh;
dan seterusnya. Sebagai contoh, bila Achilles berlari dengan
kecepatan 6 m/detik sementara sang kura-kura berlari dengan
kecepatan 3 m/detik (ditarik roda), maka Achilles akan mencapai
posisi-posisi tertentu yang pernah dicapai oleh sang kura-kura pada
saat
12+14+ · · · +12n detik, n = 1, 2, 3, . . . .
Bentuk penjumlahan di atas membentuk sebuah deret geometri,
yang jumlahnya sama dengan 1 − 12n . Jadi, dalam cerita di atas,
kita mempunyai sebuah ‘barisan’ bilangan h1 − 12n i. Bila n ‘menuju
tak terhingga’, maka 12n ‘menuju 0’. Jadi barisan bilangan di atas
‘konvergen ke 1’. Dengan pengetahuan ini, pada akhirnya kita
dapat menyimpulkan bahwa Achilles akan menyalip sang kura-kura
setelah berlari selama 1 detik.
Sebuah barisan bilangan real dapat diartikan sebagai suatu daftar
bilangan real x1, x2, x3, . . . . Persisnya, sebuah barisan bilangan real
adalah suatu fungsi dari N k eR, yakni suatu aturan yang
mengaitkan setiap bilangan asli n dengan sebuah bilangan real
tunggal xn.
Di sini xn disebut sebagai suku ke-n barisan tersebut.
Notasi hxni menyatakan barisan dengan suku ke-n xn.
Himpunan {xn : n 2 N} disebut sebagai daerah nilai barisan hxni.
Barisan hxni dikatakan terbatas (terbatas di atas atau terbatas di
bawah) apabila daerah nilainya terbatas (terbatas di atas atau
terbatas di bawah).
Jadi, hxni terbatas jika dan hanya jika terdapat K > 0 sedemikian
sehingga |xn| K untuk setiap n 2 N.
Teorema 3
Sebuah barisan tidak mungkin konvergen ke dua buah limit yang
berbeda.
Bukti. Misalkan hxni konvergen ke L dan juga ke M. Untuk > 0
sembarang, kita dapat memilih n cukup besar sedemikian sehingga
|L − M| |L − xn| + |xn − M| < + = 2.
Karena ketaksamaan ini berlaku untuk tiap > 0, kita simpulkan
bahwa |L − M| = 0 atau L = M.
Teorema 4
Jika hxni konvergen, maka hxni terbatas.
Catatan. Kebalikan dari Teorema 4 tidak berlaku. Sebagai
contoh, h(−1)ni terbatas, tetapi tidak konvergen. Di sini
keterbatasan merupakan ‘syarat perlu’ tetapi bukan merupakan
‘syarat cukup’ untuk kekonvergenan.
Bukti. Misalkan hxni konvergen ke L. Pilih N 2 N sedemikian
sehingga untuk n N berlaku
|xn − L| < 1.
Akibatnya, untuk n N, kita mempunyai
|xn| |xn − L| + |L| < 1 + |L|.
Sebut K := maks{|x1|, . . . , |xN|, 1 + |L|}. Maka jelas bahwa
|xn| K,
untuk tiap n 2 N. Ini menunjukkan bahwa hxni terbatas.Bukti. Misalkan hxni konvergen ke L. Pilih N 2 N sedemikian
sehingga untuk n N berlaku
|xn − L| < 1.
Akibatnya, untuk n N, kita mempunyai
|xn| |xn − L| + |L| < 1 + |L|.
Sebut K := maks{|x1|, . . . , |xN|, 1 + |L|}. Maka jelas bahwa
|xn| K,
untuk tiap n 2 N. Ini menunjukkan bahwa hxni terbatas.
Barisan yang tidak konvergen disebut barisan divergen. Dari
Teorema 4, kita mengetahui bahwa barisan tak terbatas tidak
mungkin konvergen, dan karenanya ia merupakan barisan divergen.
Sebagai contoh, barisan Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
merupakan barisan divergen karena ia tak terbatas.
Selanjutnya perlu diingat bahwa barisan terbatas pun mungkin saja
divergen. Sebagai contoh, barisan h(−1)ni merupakan barisan
divergen. Dengan mudah kita dapat menunjukkan bahwa
lim n!1
(−1)n 6= ±1. Namun ini belum menunjukkan bahwa h(−1)ni
divergen. Untuk menunjukkan kedivergenan h(−1)ni, kita harus
meyakinkan bahwa lim n!1
(−1)n 6= L untuk sembarang L 2 R.
Teorema 7
Misalkan xn yn zn untuk tiap n 2 N. Jika xn ! L dan zn ! L
untuk n ! 1, maka yn ! L untuk n ! 1.
Catatan. Hipotesis bahwa xn yn zn berlaku untuk tiap n 2 N
dapat ‘diperlunak’ menjadi hanya berlaku untuk tiap n n0 untuk
suatu n0 2 N.
Bukti. Diberikan > 0 sembarang, pilih N 2 N sedemikian
sehingga untuk n N berlaku
|xn − L| < dan |zn − L| <
atau
L − < xn < L + dan L − < zn < L + .
Akibatnya, untuk n N, kita peroleh
L − < xn yn zn < L + ,
sehingga
|yn − L| < .
Ini menunjukkan bahwa yn ! L untuk n ! 1.
Teorema 9
(i) Jika xn ! L untuk n ! 1, maka |xn| ! |L| untuk n ! 1.
(ii) Jika xn 0 untuk tiap n 2 N dan xn ! L untuk n ! 1, maka
L 0 danpxn !pL untuk n ! 1.
Bukti. (i) Berdasarkan Ketaksamaan Segitiga, untuk setiap n 2 N,
kita mempunyai |xn| − |L|
|xn − L|.
Karena itu jelas jika xn ! L untuk n ! 1, maka |xn| ! |L| untukn ! 1.
(ii) Andaikan L < 0, kita dapat memilih n 2 N sedemikian sehingga xn < L
2 < 0, bertentangan dengan hipotesis. Jadi mestilah L 0.
Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa hpxni konvergen kepL,kita tinjau kasus L = 0 dan kasus L > 0 secara terpisah.
Untuk kasus L = 0, kita perhatikan bahwa
pxn <p bila xn < .
Karena itu,
pxn ! 0 untuk n ! 1 karena xn ! 0 untuk n ! 1.
Sekarang misalkan L > 0. Untuk tiap n 2 N, kita mempunyai
|pxn −pL| =|xn − L|pxn +pL1pL|xn − L|.
Jadi, diberikan > 0, kita tinggal memilih N 2 N sedemikian
sehingga untuk setiap n N berlaku |xn − L| <
pL. Inimenunjukkan bahwapxn !pL untuk n ! 1.
Teorema 11
(i) Jika hxni naik dan terbatas (di atas), maka ia konvergen ke
sup{xn : n 2 N}.
(ii) Jika hxni turun dan terbatas (di bawah), maka ia konvergen ke
inf{xn : n 2 N}.
Bukti. (i) Misalkan A := {xn : n 2 N} dan L = supA. Akan
ditunjukkan bahwa xn ! L untuk n ! 1. Untuk setiap > 0,
L − bukan batas atas himpunan A, dan karenanya terdapat
N 2 N sedemikian sehingga L − < xN L. Karena hxni naik,
untuk setiap n N berlakuL − < xN xn L,dan sebagai akibatnya |xn−L|< .
Dengan demikian xn ! L untuk n ! 1.
(ii) Serupa dengan bukti untuk bagian (i).
Contoh analisis real
Misalkan xn := 1 +122 + · · · +1
n2 , n 2 N. Di sini jelas bahwa hxni
naik. Selanjutnya, untuk tiap n 2, kita mempunyai
1n21n(n − 1)=1n − 1−1n.
Akibatnya, untuk tiap n 2 N berlaku
1+122 +· · ·+1n2 1+11−12+· · ·+ 1n − 1−1n= 2−1n< 2.
Jadi hxni terbatas (di atas). Menurut Teorema 11, hxni konvergen
(ke suatu bilangan L 2).
Diberikan x0 > 0, definisikan barisan hxni secara induktif dengan
xn =12xn−1 +2xn−1, n 2 N.
Maka, dapat ditunjukkan bahwa hxni turun dan terbatas di bawah
olehp2, sehingga konvergen. Limitnya adalahp2.
Misalkan hxni terbatas. Maka lim
n!1
xn
n
= 0.
Penjelasan. Barisan hxni terbatas berarti terdapat K > 0
sedemikian sehingga untuk setiap n 2 N berlaku
−K xn K.
Akibatnya
−
K
n
xn
n
K
n
.
Karena lim
n!1
K
n
= 0, maka menurut Teorema Apit lim
n!1
xn
n
= 0.
Catatan Kecil Aksan match 
Tinggalkan komentar